Δίδυμοι, ξάδελφοι, σέξυ, ασφαλείς και Sophie Germain πρώτοι αριθμοι

Το 1849 ο Γάλλος μαθηματικός Alphonse de Polignac διατύπωσε μια πολύ σημαντική εικασία για τη θεωρία αριθμών: "Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières", "κάθε άρτιος αριθμός ισούται με τη διαφορά δύο πρώτων αριθμών, με άπειρους τρόπους". Μπορείτε να δείτε εδώ την αρχική του δημοσίευση.
Η εικασία μπορεί να διατυπωθεί λέγοντας ότι για κάθε ζυγό αριθμό 2k υπάρχουν άπειρα ζευγάρια πρώτων αριθμών που η διαφορά τους ισούται με 2k.

Για 2k=2 έχουμε πρώτους αριθμούς που διαφέρουν κατά δύο μονάδες, είναι οι λεγόμενοι "δίδυμοι" (twin) πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα (3;5), (5;7), (11;13) είναι ζευγάρια διδύμων πρώτων.

Για 2k=4 οι πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά 4 μονάδες, λέγονται "εξάδερφοι" (cousins) πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα (3;7), (7;11), (13;17) είναι ζευγάρια cousins πρώτων.

Τέλος για 2k=6 έχουμε τους "σέξυ" (sexy) πρώτους αριθμούς όπως (5;11), (7;13), (11;17)…

Μια άλλη κατηγορία πρώτων αριθμών είναι αυτή που μελέτησε γύρω στα 1825 η περίφημη Γαλλίδα μαθηματικός Sophie Germain. Οι αριθμοί Sophie Germain είναι πρώτοι αριθμοί τέτοιοι ώστε αν ο G είναι πρώτος, τότε ο 2G+1 είναι επίσης πρώτος. Για παράδειγμα το 89 είναι αριθμός Sophie Germain γιατί ο 2x89+1=179 είναι επίσης πρώτος.

Από την άλλη, οι πρώτοι αριθμοί τέτοιοι ώστε αν ο S είναι πρώτος τότε ο (S-1)/2 είναι επίσης πρώτος λέγονται "ασφαλείς" (safe) πρώτοι αριθμοί. Ο 179 είναι ασφαλής πρώτος αφου (179-1)/2=89 είναι πρώτος.

Βλέπουμε λοιπόν ότι οι αριθμοί Sophie Germain και οι ασφαλείς πρώτοι συνδέονται αφού αν έχουμε δυο πρώτους αριθμούς α και β τέτοιους ώστε β=2α+1 αυτό σημαίνει ότι ο α είναι αριθμός Sophie Germain και ο β ασφαλής.

Γενικεύοντας, και η εικασία του de Polignac και οι αριθμοί Sophie Germain είναι ειδικές περιπτώσεις της εικασίας του Dickson που διατύπωσε το 1904 ο Αμερικανός μαθηματικός Leonard Eugene Dickson.

Matrix multiplication

Wolfram demonstrations project provides a lot of interactive scripts on many mathematics concepts.
Here is the matrix multiplication:

You will have to download the free CDF player in order to interact with the script.

Matrix Multiplication from the Wolfram Demonstrations Project by Abby Brown

Γεράνια, πελαργόνια και μια πεταλούδα από πολύ μακριά

Η ιστορία ξεκινάει με μια ωραία πεταλούδα που έβγαλα φωτογραφία στην Ήπειρο. Η πεταλούδα τελικά βρέθηκε να είναι εισβολέας από μακριά (μόνο που δεν ήρθε μόνη της, οι άνθρωποι την έφεραν). Ιδού η ιστορία:

Το μυτερό τελείωμα στο πίσω μέρος των φτερών είναι πολύ χαρακτηριστικό και θυμίζει μια άλλη πεταλούδα, την Lampides boeticus αλλά τα χρώματα είναι πολύ διαφορετικά.
Στην πραγματικότητα πρόκειται για την Cacyreus marshalli μια πεταλούδα που μας ήρθε στη Μεσόγειο από τη Νότιο Αφρική.

Οι κάμπιες αυτής της πεταλούδας τρώνε αποκλειστικά τα πελαργόνια.
Να ανοίξουμε μια παρένθεση για να πούμε ότι σχεδόν όλα τα λουλούδια που ονομάζουμε γεράνια, στην πραγματικότητα δεν ανήκουν στο ευρωπαϊκό είδος Geranium αλλά στο νοτιοαφρικανικό ξαδέλφι του Pelargonium.
Τα δύο λουλουδια ξεχωρίζουν γιατί τα Geranium έχουν κεντρική συμμετρία και πάντα 10 στήμονες, ενώ τα Pelargonium έχουν άξονα συμμετρίας και 4 με 7 στήμονες, όπως βλέπετε στη δεύτερη φωτογραφία μου:
Τα Pelargonium των κήπων μας λοιπόν κατάγονται από τη νότιο Αφρική και πάνε τόσες δεκαετίες που έχουν εγκληματιστεί στο μεσογειακό κλίμα που τα θεωρούμε πια ντόπια.
Είναι απορίας άξιο πώς ενώ τα πελαργόνια καλλιεργούνται στη Μεσόγειο πάνω από ένα αιώνα, η πεταλούδα που η κάμπιά της τα τρώει πρωτοεμφανίστηκε την Ευρώπη μόλις το 1988. Η πεταλούδα παρατηρήθηκε πρώτα στις Βαλεαρίδες και μέσα σε 10 χρόνια είχε εξαπλωθεί σε Γαλλία, Ελβετία, Αγγλία και Ιταλία.
Πρώτη παρατήρηση στην Ελλάδα είναι το 2008 στην Κέρκυρα και πρώτη κατοχυρωμένη επίσημα αναφορά στην Αθήνα το 2010.
Δεν έχω δει πολλές φωτογραφίες από Ελλάδα, οπότε προσθέτω στη λίστα και αυτές τις φωτογραφίες, Άρτα, 2014.

A nice mimetic animal: a fly disguised as a wasp

The marmalade hoverfly (Episyrphus balteatus) mimics a wasp but it's harmless and even useful.

In the larval stage they eat harmful aphids and in the adult stage they harvest flower nectar and help pollination. 

Hoverflies are easy to distinguish from wasps because flies have very short antennas (see first photo of the series) and achieve stationary flight and sudden direction changes.

Wasps on the contrary have long antennas, don't practice stationary flight and can't suddenly change flight directions.

All photos taken near Barbizon, in Fobtainebleau forrest.

How to install OpenBugs on a macintosh using OSX in 5 simple steps

If you want to use OpenBugs on a macintosh there is a really simple solution: install it using wine.

1. First of all you have to install Wineskin (an Open Source implementation of the Windows API). Download the latest version from here:

http://wineskin.urgesoftware.com/
and double click on Wineskin Winery.app :






Click on the + sign to add an engine, just take the most recent one.






2. Then click on Create New Blank Wrapper, naming it as you wish:





3. Next, download the windows OpenBugs installer:

http://www.openbugs.net/w/Downloads


4. Then, double-click on the OpenBugs.app you have created (it resides on your ~/Applications folder in your home, not the /Applications folder of your disk, but you can move it later) and choose Install Software.

Click on Choose Setup Executable, point it to the OpenBugs installer you downloaded and here you are, installation begins.

At the end you will have an OpenBugs.app application in your ~/Applications folder and when you double click it you launch directly OpenBugs:

That's all. As I said, you can move your OpenBugs.app on the /Applications folder to make it available to all users of your macintosh.

For Ada Lovelace day: who were the first women in mathematics?

The Ada Lovelace day is a day to celebrate all women contributing in science.

On this occasion the first names coming to my mind are Marie Curie and Rosalind Franklin. 

But I wanted to pay a tribute to some of the first women of mathematics.

Going back in time, well before the great Sophie Germain and her pioneering work on prime numbers.

I believe almost everyone knows Hypatia from Alexandria and her work on conic sections. She was not only a mathematician but also a teacher and a philosopher of the end of the IV^th century. There are plenty of web sources you can find with her history but I recommend you read her complete biography by Maria Dzielska.

A few centuries earlier, in the 6^th century BC, Pythagoras accepted equally men and women in his school. Iamblichus cites 17 "illustrious Pythagorean women" (click to see the text).

The most famous is his wife, Theano, believed to be the first to study the golden ratio. She directed the school after Pythagoras death.

Damo, daughter of Pythagoras and Theano published the works of her father.

A woman was also the first teacher of Pythagoras, the priestess of Delphi, Themistokleia (click to read the text by Diogenes Laertius in "Lives of Eminent Philosophers").

It is difficult to attribute particular works to these Pythagorean women but clearly they actively participated and contributed to the school studies. 

Καλοκαιρινή συνταγή: σκουμπριά μαρινάτα στο φούρνο

Εύκολο, γρήγορο και καλοκαιρινό, το σκουμπρί είναι της εποχής.

Χαράξτε στα πλαϊνά τα σκουμπριά και βάλτε τα στο ταψί να μαριναριστούν μισή ώρα σε μείγμα ελαιόλαδο, λεμόνι, άσπρο κρασί, δενδρολίβανο, σκόρδο, ντομάτα, κρεμμύδι, αλατοπίπερο, ζαφορά και λίγο μπούκοβο ή πάπρικα.

Περάστε τα μέσα στη μαρινάδα μισή ώρα στο φούρνο στους 200C και σερβίρετέ τα με ρύζι περιχυμένο με τη σάλτσα περασμένη σε σουρωτήρι. Συνοδεύεται με ελαφρύ λευκό κρασί.

Καλή όρεξη.