Το 1849 ο Γάλλος μαθηματικός Alphonse de Polignac διατύπωσε μια πολύ σημαντική εικασία για τη θεωρία αριθμών: "Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières", "κάθε άρτιος αριθμός ισούται με τη διαφορά δύο πρώτων αριθμών, με άπειρους τρόπους". Μπορείτε να δείτε εδώ την αρχική του δημοσίευση.
Η εικασία μπορεί να διατυπωθεί λέγοντας ότι για κάθε ζυγό αριθμό 2k υπάρχουν άπειρα ζευγάρια πρώτων αριθμών που η διαφορά τους ισούται με 2k.
Για 2k=2 έχουμε πρώτους αριθμούς που διαφέρουν κατά δύο μονάδες, είναι οι λεγόμενοι "δίδυμοι" (twin) πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα (3;5), (5;7), (11;13) είναι ζευγάρια διδύμων πρώτων.
Μια άλλη κατηγορία πρώτων αριθμών είναι αυτή που μελέτησε γύρω στα 1825 η περίφημη Γαλλίδα μαθηματικός Sophie Germain. Οι αριθμοί Sophie Germain είναι πρώτοι αριθμοί τέτοιοι ώστε αν ο G είναι πρώτος, τότε ο 2G+1 είναι επίσης πρώτος. Για παράδειγμα το 89 είναι αριθμός Sophie Germain γιατί ο 2x89+1=179 είναι επίσης πρώτος.
Από την άλλη, οι πρώτοι αριθμοί τέτοιοι ώστε αν ο S είναι πρώτος τότε ο (S-1)/2 είναι επίσης πρώτος λέγονται "ασφαλείς" (safe) πρώτοι αριθμοί. Ο 179 είναι ασφαλής πρώτος αφου (179-1)/2=89 είναι πρώτος.
Βλέπουμε λοιπόν ότι οι αριθμοί Sophie Germain και οι ασφαλείς πρώτοι συνδέονται αφού αν έχουμε δυο πρώτους αριθμούς α και β τέτοιους ώστε β=2α+1 αυτό σημαίνει ότι ο α είναι αριθμός Sophie Germain και ο β ασφαλής.
Γενικεύοντας, και η εικασία του de Polignac και οι αριθμοί Sophie Germain είναι ειδικές περιπτώσεις της εικασίας του Dickson που διατύπωσε το 1904 ο Αμερικανός μαθηματικός Leonard Eugene Dickson.
Η εικασία μπορεί να διατυπωθεί λέγοντας ότι για κάθε ζυγό αριθμό 2k υπάρχουν άπειρα ζευγάρια πρώτων αριθμών που η διαφορά τους ισούται με 2k.
Για 2k=2 έχουμε πρώτους αριθμούς που διαφέρουν κατά δύο μονάδες, είναι οι λεγόμενοι "δίδυμοι" (twin) πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα (3;5), (5;7), (11;13) είναι ζευγάρια διδύμων πρώτων.
Για 2k=4 οι πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά 4 μονάδες, λέγονται "εξάδερφοι" (cousins) πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα (3;7), (7;11), (13;17) είναι ζευγάρια cousins πρώτων.
Τέλος για 2k=6 έχουμε τους "σέξυ" (sexy) πρώτους αριθμούς όπως (5;11), (7;13), (11;17)…
Μια άλλη κατηγορία πρώτων αριθμών είναι αυτή που μελέτησε γύρω στα 1825 η περίφημη Γαλλίδα μαθηματικός Sophie Germain. Οι αριθμοί Sophie Germain είναι πρώτοι αριθμοί τέτοιοι ώστε αν ο G είναι πρώτος, τότε ο 2G+1 είναι επίσης πρώτος. Για παράδειγμα το 89 είναι αριθμός Sophie Germain γιατί ο 2x89+1=179 είναι επίσης πρώτος.
Από την άλλη, οι πρώτοι αριθμοί τέτοιοι ώστε αν ο S είναι πρώτος τότε ο (S-1)/2 είναι επίσης πρώτος λέγονται "ασφαλείς" (safe) πρώτοι αριθμοί. Ο 179 είναι ασφαλής πρώτος αφου (179-1)/2=89 είναι πρώτος.
Βλέπουμε λοιπόν ότι οι αριθμοί Sophie Germain και οι ασφαλείς πρώτοι συνδέονται αφού αν έχουμε δυο πρώτους αριθμούς α και β τέτοιους ώστε β=2α+1 αυτό σημαίνει ότι ο α είναι αριθμός Sophie Germain και ο β ασφαλής.
Γενικεύοντας, και η εικασία του de Polignac και οι αριθμοί Sophie Germain είναι ειδικές περιπτώσεις της εικασίας του Dickson που διατύπωσε το 1904 ο Αμερικανός μαθηματικός Leonard Eugene Dickson.
